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本文常用量级绝对无穷部分构造6玄宇宙V逻辑多元（第1页）

本文本质上是evidenceforset-theoretinetdthehyperuniverseprogramme的读书笔记。如无特别注释，都出自于此文。

本文的计划如下。先，我将回顾一些流行的一阶公理，它们很好地满足了集合论实践的需要，并论证上述丰富性预测。其次，我将讨论在整个数学中的独立性鲜为人知的力迫公理作为上述基础性预测的证据的作用。而到目前为止，本文的主要内容和核心目标是第三部分，在这一部分中我将介绍玄宇宙计划，包括其哲学基础和最新的数学展。

【省流大师】

·hyperuniverseprogramme，hp（玄宇宙计划）是对内模型的基本性质的另外一个方向的探寻纲领，使得内模型可以满足集合论哲学的最大化思想的要求。

·玄宇宙计划目前依旧活跃。[1]

·玄宇宙计划目前最好的成果是sImh#=sImh+#-生成。

·玄宇宙计划提出的一部分候选者有能力决定连续统假设不成立。

【玄宇宙计划的哲学原理】

免责声明：这段数学哲学说书不代表本人的数学哲学观点，只是作者的观点的摘录

三类证据：

·集合理论实践的丰富性（第一类证据）。

集合论作为数学的一个分支，其展是如此丰富，以至于对于哪些一阶公理（越ZFc加小的大基数）最有利于这一展，永远不会有共识。

·一个基础性的需要（第二类证据）。

正如ac因其对数学实践的重要作用而被接受一样，对整个数学的独立性结果的系统研究将现与ch（因此也包括V=L）相矛盾的一阶陈述，这些陈述最适合解决这种独立性。

·一个最佳的最大化标准（第三类证据）。

通过玄宇宙计划，将有可能得出一个最佳的非一阶公理，表达集合论宇宙在高度和宽度上的最大化；这个公理将有与ch相矛盾的一阶后果（因此也包括V=L）。

·集合论的真理论。

将会有一些集合论的一阶声明，它们能很好地满足集合论实践和解决整个数学的独立性的需要，而且这些声明可以从集合论宇宙的高度和宽度的最大化中推导出来。这样的陈述将被视为集合论的真实陈述。为了使一个与V=L相矛盾的一阶声明被视为真实，它必须很好地满足集合论实践和解决数学中的独立性的需要，而且它至少必须与最佳最大化标准所表达的集合论宇宙的最大化相一致。

·越一阶。

对于与V=L相矛盾的拟议的一阶公理的真实性，永远不会有共识；相反，真正的一阶语句将仅仅作为真正的非一阶公理的后果出现。

第一类证据：

即使我们产生了一个很好的公理[2]，其形式为"有（一切）大基数，V是L的典型泛化"，这样做也会使我们在一个类似L的环境中进行集合论。事实上，在集合论上还有其他令人信服的观点，它们将我们引向非类-L环境，并相应地引向完全不同的第一类公理。

·力迫公理有很长的历史，可以追溯到马丁公理（ma），这个简单的公理可以用来一举建立大量集合论语句的相对一致性。自然地，人们对ma的强化有兴趣，一个流行的强化是恰当力迫公理（pFa），它把这个公理强化到更广泛的恰当偏序类。而pFa自然的和类-L公理不兼容

·在研究实数集的可定义理论和组合学特性时出现了大量的自然的基数，他们都是至多为连续统的不可数基数。这些特性提供了一个低于连续统的独特的不可数基数的大谱系，因此连续统确实相当大，与类-L性和力迫公理相矛盾。

因此，我们有三种不同类型的公理，具有出色的第一类证据：具有大基数的内模型公理、力迫公理和基数特征公理。它们相互矛盾，但每一个都与其他公理的内模型的存在一致。在我看来，这清楚地表明第一类证据不足以确立集合论公理的真实性；它也不足以决定ch是否为真。

第二类证据：

·除了V=L和力迫公理，对集合论之外的数学产生了重大影响，大基数公理（如紧致）和基数特征公理（neta1characteristicaxioms）的影响很小，而adL（R）的影响至今不存在。

·作者预测，在解决整个数学的独立性的集合论公理的选择中，V=L和力迫公理将是绝对的赢家。但是，由于V=L与集合论宇宙的宽度的最大化相冲突，它不适合作为集合论真理论的实现，使得力迫公理成为目前领先的候选人。

笔记作者的评论：只要你接纳neticity，V=L和力迫公理都不需要好吧，直觉一念起刹那天地宽，施主只使用数学的实践需求来作为公理的第二类证据的话为何不皈依我构造主义类型论门下？

我cubica1tt修炼范畴论内功可以继承布尔巴基之名，外功可通达一切可计算数学，一切数学的证明自动检验（形式化）和整个计算机科学，你个L公理力迫公理也敢上门来和我斗实践需求的阵？

第三类证据：

·高度（或序数）最大化。宇宙V是尽可能高的，即序数序列是尽可能长的。

·宽度（或幂集）最大化。宇宙V尽可能地宽（或厚），即每个集合的幂集尽可能地大。

·如果m是宽度最大的，那么m的一个“增厚”性质在m的某个内部模型中也必须成立。在一阶属性的情况下，这被称为内模型假设，或者Imh（Innermode1hypothesis）。

完成主义和潜在主义[3]

·幂集迭代的结果有一个"极限"，还是总是可以进一步扩展到更长的迭代？前者称之为高度完成主义。反之为高度潜在主义。

·幂集运算的结果是确定的还是总是有可能通过增加更多的子集来进一步扩展它？前者称之为宽度完成主义。反之为宽度潜在主义。

·玄宇宙计划将遵循高度潜在主义和宽度完成主义：尽管我们有一个明确而连贯的方式通过迭代过程生成序数，但目前还没有类似的迭代过程来生成越来越丰富的幂集。

为啥宽度潜在主义是不太合理的？考虑这样的公理：

·任何序数都是潜在的可数：对于V的任何序数a，我们可以将V增厚到a是可数的内模型m。

激进潜在主义：高度潜在论+宽度潜在论

·即使只是宽度潜在主义（允许宇宙被加厚），也会迫使我们进入高度潜在主义：如果我们继续加厚以使V的每个序数都是可数的，那么在ord（V）步骤之后，我们也被迫加长以达到一个满足幂集公理的宇宙mo。在那个宇宙中，原来的V看起来是可数的。但是，我们可以用这个新的宇宙m1重复这个过程，直到mo也被看作是可数的。之所以这满足了高度潜在主义，是因为我们不能以所有宇宙的联合来结束这个过程，否则这将不是ZFc的模型（幂集公理将失效），因此必须在高度上延长。

最大化协议：

本协议旨在将高度和宽度最大化的研究，分成三个阶段。

1.将序数最大化（高度最大化）。

2.在实现了序数最大化之后，再实现基数最大化。

3.在对序数和基数进行最大化之后，对幂集进行最大化（宽度最大化）。

阶段1通过#-生成完成，阶段3通过类-Imh公理完成；对于基数最大化，我们希望对于一切基数k，k+尽可能大。

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