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第21章 从讲函数偏到了讲二次型离大谱又到了纯量积（第1页）
函数的这个坑感觉深不见底，想讲一下函数，结果现还有仿射空间，欧几里得空间，埃尔米特空间，和辛空间。。。。这么多的坑需要弥补的。头大的日子。
为了讲欧几里得空间需要讲这些。
讲第一个点，多重线性映射，为之后的双线性映射和二次型正定矩阵打一下基础。
这里用到的是列空间L1，L2。。p1，p2，L构成的是第一个空间，p是第二个空间这里用张量乘法，得到的凯莱矩阵的那种排列就被叫做张量积，这里给出一个理解就是有一个点所能走的位置，直接理解空间不容易但是讲一个点可以走过的位置，好理解一些，里这个点其实也就是凯莱矩阵中的元。
那么在列空间L1，L2只有两个的时候就叫做双线性
那么有一个点只能在这两个列构成的空间里面折腾，那么要是按照行空间的理解就是在这个空间的步数的数量值，如果不是的序列一样那就可以说明它的树的分支是一个也就是在同一个行空间，当行空间表示的树的分支不同的时候，这是两个空间
双线性之所以有对称或者斜对称，是因为正交可以回避掉太多的几何依赖性，所以人们一般就选择正交，这也是看到的矩阵都是长方形或者方形的，斜的的空间也是可以存在的，但是在表示的时候还呢把矩阵斜着画么，所以在表示的时候用到的是垂直的方式，
接下来说一下对称和斜对称的空间理解，假设有一个平面两条空间就划分成四个空间，类似象限，但是空间划分就是按照张成空间的一维化的方向，就有了一个面切成两个空间，一个是逆序为偶数的空间一个是奇的空间，又因为是双线性所以偶数空间和奇的空间没得选，非此即彼罢了。
接下来是二次型，二次型的本质只是一个坐标，是位置，经过运算得到的是值，是范数，运算是对坐标系的放大或者缩小，放大之后这个个数能选的值就多看，缩小之后能选个数的减少，个数是由测度来决定的，这里有左乘和右乘的两种操作方式，现在有双线性就够了。
回到欧几里得空间
还得补充一下正定，就个非任意零实系数向量k，k*mk>o，复数系也就是埃尔米特矩阵（复数共轭对称矩阵）k*mk>o，式子差不多，也就不改了。
解释一下，两个坐标轴加一个张成方向就构成了八个空间，有一半的空间是正数，一半的空间是负，正定和负定就出来了，要是不包含边界面那就是半正定和半负定，不定那就是面上的点了，简单说下哈，要是俯瞰这个的话类似四叶草的感觉，上面有两个正定下面两个正定。计算以后再说。
接下来给出纯量乘积的理解，总算开始填坑了，大吉大利。
纯量，又是范数，表示成（x｜y）=xi*yi的加和，用凯莱矩阵表示就是对角线之和，特征值之和等于主对角线元素之和，也可以理解成操作数的张成空间之和，这个表示的是一个路径。现在给了一个直观的解释，之后会给出联系到特征值的解释。
又断章了
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