糖果小说

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本文常用量级绝对无穷部分构造补充（第2页）

{1amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入是不可达基数｝是k上的平稳集，因此k是第k个不可达基数。

为了得到以上结论，我们来证明如果k是任何不可达基数，则是“强极限基数”

c:={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k入是强极限基数｝是k上的无界闭集。先来证明闭性：

假设基数入＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It;k是net入），则对任何μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It；入有强极限基数yenet入使得μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，从而2μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;入，从而入是一个强极限基数，故入ec，从而c是闭的。

无界性：任取序数a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k，因为k的强极限性质，可以做以下基数序列（yn

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1ne）:

a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t:yo，y1=2yo，...，yn+1=2yn，...

并取y=supneyn，因为k

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;是正则的，所以y

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k而且显然a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y。可以证明v是强极限的：任取μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，则按照定义存在neap;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;yn，从而2μs2yn=yn+1amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，于是yec。这样c就是无界的。

现假设k是马洛基数，则是不可达基数，而且是正则的。

x:={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k入是正则的｝是k上的平稳集。按照定义，xnc也将是k上的平稳集，而为“不可达基数”。

xnc={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入为不可达基数｝。因为k上的平稳集总是在k中无界，故xnc的基数也将是k，也即k是第k个不可达基数。

为了进一步考察马洛基数，我们再来证明以下两个命题：

命题1：如果是第一个不可达基数

k=min（入入是第入个不可达基数｝，则k不是马洛基数。

命题2:如果k是马洛基数，则集合第入个不可达基数是｛入＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入是第入个不可达基数｝在k中无界。

先证明命题1：按照定义，任何小于k的不可达基数y都是第a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y个不可达基数。现在定义是不可达基数：

x:={y

amp;amp;amp;amp;a

mp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1y是不可达基数｝上的函数f:x→→k使得f（y）=a，其中a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，且y是第a个不可达基数。从而f是x上的退缩函数。如果k是马洛基数，按照上一个证明，x将成为k上的平稳集。按照福道尔定理，将存在一个k上的平稳集scx和某个b使得任何yes有f（y）=b，即任何yes是第b个不可达基数。但我们知道第b个不可达基数只有一个，这与s是平稳集矛盾。

命题2:假设是第入个不可达基数：

t:={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k入是第入个不可达基数｝在k中有界，即supt

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k。令a=supt，则集合c={b

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k|bamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;a｝是k上的无界闭集。因为k是马洛基数，所以

是不可达基数。

x={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k入是不可达基数｝是k上的平稳集，按定义xnnetc是k中所有大于a的不可达基数的集合。而且每个不可达基数yexnc，y不可能是第v个不可达基数，从而v只可能是第e

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y个不可达基数。重复命题1的证明，在平稳集xnc上建立一个退缩函数，利用福道尔定理便可引出矛盾。

3不可描述基数

不可描述基数是对V的不可描述性（表现为反射原理）的深入刻画，即将V具有的不可描述性移植到作为集合的Vk上。对于作为大全的V我们不是很方便谈论，但Vk可以。称k（实际也是Vk）是∑nm﹣可描述的，在于存在一则∑nm﹣命题中，使得p仅在Vk中为真，即不存在a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k，使得中也会在Va中为真。换言之，满足中这一描述的仅为Vk，中是Vk独有的描述，故构成对Vk的本质描述。反之，称k是∑nm﹣不可描述的，在于对任意∑nm﹣命题中，Vk满足中就意味着存在a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k，Va也满足中，所以仅仅是满足申并不意味着是在描述Vk。而"k是∑nm﹣不可描述的"或"k是nnm﹣不可描述的"是则∑n+1m﹣命题或nn+1m﹣命题，你的想法是对的，只是"k是一阶不可描述"这点需要用二阶语句来描述，这样的二阶命题我们可以写出来，但一阶不行，并且如果存在这样的一阶命题，那么就如你所想的那样必然导致矛盾，这就意味着该语言是内在不一致的。所以，"任意命题都无法描述"不会是一个自洽的语言可以写出来的句子。

4．弱紧致基数

对于一阶逻辑语言的扩张L入u，即对任意a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t；入，允许语句的a次合取^e

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;apa和或取Ve

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;aゆa仍作为一个语句；以及对任意b

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t:u，允许语句中出现b次存在量词＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;bxe和全称量词Ve